Als Mönch des 5. Jahrhunderts gründete er in Konstantinopel einen Mönchsorden, der für seine Praxis des ewigen Gebets berühmt war, bei dem sich Chöre von Mönchen Tag und Nacht abwechselten.
Der heilige Alexander der Akomet, geboren in einer Adelsfamilie in Kleinasien, diente zunächst als Soldat, bevor er der Welt für das klösterliche Leben entsagte. Nach Jahren der Askese und der Gründung mehrerer Gemeinschaften in Mesopotamien ließ er sich in der Nähe von Konstantinopel nieder. Dort organisierte er seine Mönche zu „Akometen“ (vom griechischen 'akoimētoi', „die nicht schlafen“), indem er Ablösungen einrichtete, damit Gebet und Gotteslob Tag und Nacht ununterbrochen stattfanden. Diese Praxis hatte einen bedeutenden Einfluss auf den östlichen Monastizismus.